我的书签
添加书签
移除书签Number类型二进制表示法
问你一个问题：JS 中 Number 类型数据总共有多少个？
这有答案吗？
《Ecma-262 Edition 5.1》给出的答案是：18437736874454810627，即 $2^{64}-2^{53}+3$。
那么，具体是怎么算出来的？？
本文主要解决这个问题。
规范上说，Number 类型使用的是《
IEEE二进制浮点数算术标准（IEEE 754）》的双精度 64 位格式。
其核心问题：是怎么用 64 个比特位，来表示一个具体浮点类型数值？
《IEEE 754.pdf》把这 64 位比特分成 3 部分：
其中，s 表示符号位，占 1 比特；e 表示指数位，占 11 比特；f 表示分数位，占 52 比特。
规范里详细地给出了各种情况所对应的值：
上述分类是符合 MECE 原则的，不重复且不遗漏。
其中 e 占 11 位，因此该部分能表示的数字范围是 0 至 2047，即，0 至$2^{11}-1$。分类首先标准就是看 e 是否位于边界。
前两条是指当 e 部分都填充二进制 1 时，即当指数部分为最大值时，表示 NaN 和正负 Infinity 这两种情况。
具体来说，第一种，当小数部分同时不为零时，此时表示 NaN。JS 中的字面量 NaN，正是对应这种情况，另外要求 NaN 始终不能等于自身。
第二种，而当 f 部分为 0 时，根据符号位的正负，来表示相应的正负无穷。
第三条是指当 e 在介于最小值和最大值之间的情形。此时被称为规范化数字，有别于下面的第四条。这里值的确定方式是 $(-1)^s2^{e-1023}(1·f)$。此时要注意 $(1·f)$ 指的是二进制小数。
举个例子，假设某个数字的 64 位比特表示如下： 1|10000000001|110000...，此时 s 是 1, e 是 $2^{10}+2^0$，即 1025。那么该数据对应的值 v 是：$(-1)2^{2}(1·11)$ 而二进制小数 $(1·11)$ 其值是$2^0+2^{-1}+2^{-2}$，即 1.75。因此该表示是 -7。
第四条是指非规范化数字情形。此时数字已经非常小了。注意这里是二进制小数是 $(0·f)$ 不同于第三条里的 $(1·f)$。最后一类是正负 0 的情形。
我们已经把规范过了一遍，现在，我们来算算开头的问题：Number 类型共有多少个值？
从上述分类中可以看出：后三类是正常值，前两类总共有 $212^{52}$ 种可能（排列组合原理，s 部分为 2047，因此相应的只有一种可能），这么多种可能，却在 JS 中只表示 NaN、+Infinity、-Infinity 这 3 个值。因此总数 $2^{64}-2^{53}+3$。
至此，本文接近尾声了。
最后提醒一下，阅读《Ecma-262 Edition 5.1》8.5节不要犯迷糊：
The 18437736874454810622 (that is, $2^{64}−2^{53}−2$) finite nonzero values are of two kinds: 18428729675200069632 (that is, $2^{64}−2^{54}$）of them are normalised, having the form
$s × m × 2^e$
where s is +1 or −1, m is a positive integer less than $2^{53}$ but not less than $2^{52}$, and e is an integer ranging from −1074 to 971, inclusive. The remaining 9007199254740990 (that is, $2^{53}−2$) values are denormalised, having the form
$s × m × 2^e$
where s is +1 or −1, m is a positive integer less than $2^{52}$, and e is −1074.
其中提到了 e 是从 -1070 到 971，这两个数字怎么来的？其实它与《IEEE 754.pdf》说的是同一回事，比如规范化情形，只是从指数部分里拿出了 $2^{52}$ 放到了 m 里面。 m 等价于$2^{52}(1·f)$。
本文完。
